欧拉的读书好方法

欧拉是18世纪著名的数学家和物理学家，他的读书方法主要包括：勇于质疑，善于提问;注重细节，精益求精;重视逻辑思维，反复演练。欧拉的读书方法强调了对读物的深入理解和逻辑思维的训练，通过不断地提问和思考，反复推敲和演练，从而深入领会和掌握知识，培养自己的科研能力。

数学家欧拉的故事

欧拉是史上著名的，他在数论、几何学、天文数学、微积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就。不过，这个大数学家在孩提时代却一点也不讨的，他是一个被除了名的小。

事情是因为星星而引起的。 当时，小欧拉在一个教会学校里读书。有一次，他向老师，天上有多少颗星星。老师是个神学的信徒，他不天上究竟有多少颗星，上也没有回答过。其实，天上的星星数不清，是无限的。我们的肉眼可见的星星也有几千颗。这个老师不懂装懂，回答欧拉说：“天有有多少颗星星，这无关紧要，只要知道天上的星星是镶嵌上去的就够了。”欧拉感到很奇怪：“天那么大，那么高，地上没有扶梯，上帝是怎么把星星一颗一颗镶嵌到一在幕上的呢?上帝亲自把它们一颗一颗地放在天幕，他为什么了星星的数目呢?上帝会不会太粗心了呢?

他向老师提出了心中的疑问，老师又一次被问住了，涨红了脸，不知如何回答才好。老师的心中顿时升起一股怒气，这不仅是因为一个才上学的向老师问出了这样的问题，使老师下不了台，更主要的是，老师把上帝看得高于一切。小欧拉居然责怪上帝为什么没有记住星星的数目，言外之意是对万能的上帝提出了怀疑。在老师的心目中，这可是个严重的问题。

在欧拉的年代，对上帝是绝对不能怀疑的，人们只能做思想的，绝对不允许思考。小欧拉没有与教会、与上帝“保持一致”，老师就让他学校。但是，在小欧拉心中，上帝神圣的光环消失了。他想，上帝是个窝囊废，他怎么连天上的星星也记不住?他又想，上帝是个，连提出问题都成了罪。他又想，上帝也许是个编造出来的家伙，根本就不存在。

回家后无事，他就放羊，成了一个牧童。他一面放羊，一面读书。他读的书中，有不少数学书。 爸爸的羊群渐渐增多了，达到了100只。原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新的羊圈。他用尺量出了一块长方形的土地，长40米，宽15米，他一算，面积正好是600方米，均每一头羊占地6方米。正打算动工的时候，他发现他的材料只够围100米的篱笆，不够用。若要围成长40米，宽15米的羊圈，其周长将是110米(15+15+40+40=110)感到很为难，若要按原计划建造，就要再添10米长的材料;要是缩小面积，每头羊的面积就会小于6方米。 小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划。他有办法。

父亲不小欧拉会有办法，听了没有理他。小欧拉急了，大声说，只有稍稍移动一下羊圈的桩子就行了。 父亲听了直摇头，心想：“世界上哪有这样便宜的事情?”但是，小欧拉却说，他一定能两全齐美。父亲终于同意让试试看。 小欧拉见父亲同意了，站起身来，跑到准备动工的羊圈旁。他以一个木桩为中心，将原来的40米边长截短，缩短到25米。父亲着急了，说：“那怎么成呢?那怎么成呢?这个羊圈太小了，太小了。”小欧拉也不回答，跑到另一条边上，将原来15米的边长延长，又增加了10米，变成了25米。经这样一改，原来计划中的羊圈变成了一个25米边长的正方形。然后，小欧拉很自信地对爸爸说：“，篱笆也够了，面积也够了。”父亲照着小欧拉设计的羊圈扎篱笆，100米长的篱笆真的够了，不多不少，全部用光。面积也足够了，而且还稍稍大了一些。父亲心里感到非常。孩子比，真会动脑筋，将来一定大有出息。

父亲感到，让这么聪明的孩子放羊实在是及可惜了。后来，他想办法让小欧拉认识了一个大数学家伯努利。通过这位数学家的推荐，1720年，小欧拉成了巴塞尔的大学生。这一年，小欧拉13岁，是这所大学最的大学生。

数学家欧拉的读书故事

欧拉出生在瑞士名城巴塞尔。他的爸爸是位神甫，酷爱数学，在爸爸的书房里，除了不多的神学书之外，满满当当的，全是数学书!从小欧拉略略懂事开始，这位热爱数学的父亲，只要有空，就会把儿子抱在大腿上，给他讲各种有趣的数学故事。

聪明的小欧拉，当然也特别喜欢听爸爸讲数学故事了。你瞧，爸爸刚下班回家，他就拽住了爸爸的黑袍子，要听故事。

“好的，”爸爸说，“今天，爸爸给你讲个关于象棋的故事。从前，印度有个国王叫舍罕。他的大臣发明了象棋。一天，刚和大臣下了一盘象棋的国王，觉得象棋非常好玩，决定重赏大臣。‘国王，’大臣说，‘您只要赏赐给我一些麦子就行了。请在棋盘的第一格里放1粒，第二格里放2粒，第三格里放4粒，第四格里放16粒……以此类推，把64格棋盘放满，就够了!’‘你只要这点赏赐啊，’国王笑得喘不过气来，立刻派人来放麦子。可是，让人想不到的是，棋盘的格子还没放到一半，国库内的麦子就搬光了。”

小欧拉睁大眼睛，出神地望着爸爸，过了好一会儿才问道：“这，怎么可能呢?”

爸爸抚摸着小欧拉的头，说：“孩子，你还不懂，这就是数学上的幂级数。如果把棋盘64格全放满麦粒的话，这些麦子得有18000亿吨。”

“18000亿吨，那是多少啊?”小欧拉闹不明白。

“哦，这样跟你说吧，假设当时印度全年小麦的生产量是100万吨的话，要生产这么多的小麦，要用一百八十万年才行。”

“我的天哪!”小欧拉惊呼起来，“原来，小小的棋盘里，竟然有如此有趣的数学问题!”

这个故事深深震撼了小欧拉的心灵，从此，一颗热爱数学的种子在小欧拉的心灵深处种下了。

一转眼，欧拉该上学了。他被送到巴塞尔文科学校学习。学校里数学课很少，这可急坏了热爱数学的欧拉。每天一回家，他就钻进爸爸的书房，找些数学书读读。一天，他取下来的是德国数学家鲁道尔夫的《代数学》。读了几页，小欧拉就被深深吸引了，他边读边思考，很快弄懂了那几页的知识，还试着做了几道练习题。

爸爸回来后，小欧拉把做的题目拿给爸爸看。“啊，你做得不错!”爸爸边看边点头。

爸爸的夸奖地激励了欧拉。他把《代数学》带到学校，一有空就自学。遇到问题时，他总是做好符号，去问老师或者爸爸。他越学越深，到后来，有些问题连大人都答不上来了。

不久，欧拉打听到当地有一位学识渊博的数学家，名叫约翰?伯克哈特。于是，在一个星期天的早晨，他敲开了伯克哈特的门。伯克哈特见小欧拉手捧《代数学》，大为吃惊，忙问：“这本书，你能读得懂?”

欧拉点点头，随即又摇摇头，说：“能懂一些，不过还有许多问题想请教您呢!”

伯克哈特不敢相信。他翻开书指着一道代数题，让欧拉来解答。欧拉看了一眼，立刻拿起笔在纸上飞快地演算着。不一会儿，答案便算出来了。

伯克哈特惊喜万分，他拉着欧拉的手，连声说：“天才!天才!”

从此，伯克哈特收下了这位还在读小学的“弟子”，他不但耐心地解答欧拉的每一个问题，而且还旁征博引地给欧拉讲述了许多代数学知识。在伯克哈特的指点下，读小学的欧拉不仅自学完了《代数学》，还学习了伯克哈特推荐的其它数学书。

在名师的指点下，通过自己的勤奋自学，13岁的欧拉，以优异的成绩，考著名的巴塞尔大学。　寒假里，我读了一篇关于欧拉的故事：

欧拉是数学史上著名的数学家，他在数论、几何学、天文数学、微积分等好几个数学的分支领域中都取得了出色的成就。不过，这个大数学家在孩提时代却一点也不讨老师的喜欢，他是一个被学校除了名的小学生。

事情是因为星星而引起的。 当时，小欧拉在一个教会学校里读书。有一次，他向老，天上有多少颗星星。老师是个神学的信徒，他不知道天上究竟有多少颗星，上也没有回答过。其实，天上的星星数不清，是无限的。我们的肉眼可见的星星也只有几千颗。这个老师不懂装懂，回答欧拉说："天有有多少颗星星，这无关紧要，只要知道天上的星星是上帝镶嵌上去的就够了。"

欧拉感到很奇怪："天那么大，那么高，地上没有扶梯，上帝是怎么把星星一颗一颗镶嵌到天幕上的呢?上帝亲自把它们一颗一颗地放在天幕，他为什么忘记了星星的数目呢?上帝会不会太粗心了呢?

他向老师提出了心中的疑问，老师又一次被问住了，涨红了脸，不知如何回答才好。老师的心中顿时升起一股怒气，这不仅是因为一个才上学的孩子向老师问出了这样的问题，使老师下不了台，更主要的是，老师把上帝看得高于一切。小欧拉居然责怪上帝为什么没有记住星星的数目，言外之意是对万能的上帝提出了怀疑。在老师的心目中，这可是个严重的问题。

在欧拉的年代，对上帝是绝对不能怀疑的，人们只能做思想的，绝对不允许思考。小欧拉没有与教会、与上帝"保持一致"，老师就让他离开学校回家。但是，在小欧拉心中，上帝神圣的光环消失了。他想，上帝是个窝囊废，他怎么连天上的星星也记不住?他又想，上帝是个，连提出问题都成了罪。他还想，上帝也许是个别人编造出来的家伙，根本就不存在。后来，经过大数学家伯努利的推荐，1720年，小欧拉成了巴塞尔大学的大学生。这一年，小欧拉才13岁，是这所大学最年轻的大学生。

欧拉方法

比如有一段等间隔采样的加速度 a_0,a_1,...,a_n ，采样间隔为 \delta t ,在已知初始速度为 v_0 的情况下求 t_n 时刻的速度 v_n .

最简单的方法是假设两次采样间隔之间加速度不变，都是第一次采样时刻的加速度，因此有 v_n=v_0+a_0\delta t+a_1\delta t+...+a_{n-1}\delta t

也就是说给定微分方程 \dot{v}=a (注意这里自变量是时间 t ,因变量是速度 v ,加速度 a 是测量值)，在已知微分方程经过点 (t_0,v_0) 的前提下，可以得到自变量任意值 t_n 对应的 v_n ,也就是得到 v 关于 t 的近似函数了(离散的)。高中牛顿力学回顾

有一个具有一定速度在运动的物体：

当我们需要对其进行模拟时，自然会想起高中的 位移 = 速度  时间，即：

s=v∗ts=v∗t

而当该物体具有恒定加速度(恒力)时：

我们可以应用牛顿第二定律，求出物体在 $t$ 时间的速度：

vt=v0+Fm∗tvt=v0+Fm∗t

因此，我们想获得物体在 $t$ 时间的位置，就可以使用以下公式：

s=v0∗t+12∗Fm∗t2s=v0∗t+12∗Fm∗t2

该公式在理想情况下，十分合理且正确，比如模拟一个斜方向向上抛出的小球，重力作用下(无空气摩擦)，我们必定能得到一个对称的抛物线：

这都是高中物理课上我们学到的知识，对于简单的模拟已经够用了。

使用数值方法

然而，我们要模拟的现实世界往往比较复杂，几乎不可能有受力恒定的情况出现，考虑以下情况：

你能写出红色盒子在之后的每一个时间 $t$ 的位置方程吗?显然这是无比困难的，因为该盒子受到的外力 $f$ 跟其位置 $p$ 有关，即 $f$ 与 $p$ 存在某种函数关系，因此，我们可以抽象出物体加速度 $a$ 与 $p$ 的关系：

a=f(t,p)ma=f(t,p)m

而又因 $a$ 为 速度 $v$ 的一阶阶导数，$v$ 为 $p$ 的一阶导数，因此我们最终得到：

p¨=v˙=f(t,p)mp¨=v˙=f(t,p)m

这是一个标准的微分方程($p$ 上面有一点表示导数)，我们从该方程中直接求出 $p$ 基本上是不可能的，因 $f$ 往往很复杂(包含了各种碰撞和约束) 。但是我们可以使用数值方法。数值方法的本质上是用某种方法来近似求出我们需要的解。使用数值方法我们得不到精确解，但是没所谓，在精度要求不是十分严格的模拟下一般都够用了。

而又物体的速度 $v$ 为 $p$ 的一阶导数，我们得到：

p˙=vp˙=v

我们可以将两条微分方程组合起来，使用矩阵表示：

[v˙p˙]=[f(t,p)mv][v˙p˙]=[f(t,p)mv]

用 $\dot X$ 表示左边的矩阵，$F(t, X)$ 表示右边的矩阵，有：

X˙=F(t,X)X˙=F(t,X)

啰嗦了这么多，就是为了得到这个方程，我们的目标就是要使用数值方法求解出这个方程的 $X$。为什么要求 $X$?因为模拟的本质就是求某个物体在某一时候应该正确出现的位置(和旋转)。

求解微分方程的数值方法有许多，如 Runge Kutta，Mid-point，还有我之前介绍过的 Verlet，但我今天介绍最常用也是最基础的三种方法，分别为：

显式(向前)欧拉方法：Explicit Euler

隐式(向后)欧拉方法：Implicit Euler

半隐式欧拉方法：Semi-implicit Euler

显式(向前)欧拉方法

1. 介绍

观察我们的方程：

X˙=F(t,X)X˙=F(t,X)

求解 $X$ 不容易，但是我们可以从 $\dot X$ 入手。

回忆高中数学，若有函数 $f(x)$，那么其导数的定义为：

f˙(x)=dfdx=limh→0f(x+h)−f(x)hf˙(x)=dfdx=limh→0f(x+h)−f(x)h

但是计算机模拟是离散的，因此步长 $h$ 取不了无限小，只能是一个有一定大小的数，但是我们可以利用这种思想，对 $\dot f(x)$ 进行近似：

f˙(x)≈ f(x+h)−f(x)hf˙(x)≈ f(x+h)−f(x)h

按照这种思路我们可以求出近似的 $\dot X$。

比如，我们要求 $t_1$ 时刻的 $\dot X$，我们可以：

X˙1=F(t1,X1)=X2−X1t2−t1X˙1=F(t1,X1)=X2−X1t2−t1

其中 ${t_2 - t_1}$ 即模拟步长 $h$。那么现在我们可以求 $t_2$ 时刻的 $X$，即 $X_2$ 为：

X2=X1+h∗F(t1,X1)X2=X1+h∗F(t1,X1)

这种对于每一个时刻($t_2$)，都使用上一时刻($t_1$)的解进行求解的方法即为显式欧拉方法，又叫向前欧拉方法。下图显示了显式欧拉方法的细节：

绿线为 $\dot X_{1}$ 的真实值，黑线为显式欧拉的得到的近似值，可以看到是有一定误差存在的，同时也能发现，缩短步长 $h$ 能提高精度。

显式欧拉简单高效且容易实现，但是缺点明显。

2. 稳定性分析

显式欧拉方法不是无条件稳定的方法。这句话我们要理解两个词，首先是稳定，第二是无条件。稳定指的是在长时间模拟下，得到的数值不会指数级爆炸;无条件指的是在任何微分方程下都能稳定。

因此显式欧拉方法在某些方程下能稳定，某些方程下不稳定。我们可以用以下方程来测试：

y˙(t)=−λy(t)y˙(t)=−λy(t)y(0)=y^y(0)=y^

该线性微分方程称为测试方程，其中有初始值 $\hat y$，且 $\lambda > 0$。

该方程的解为 $y = \hat y e^{-\lambda t}$，显然在 $t \to +\infty$ 时，$y \to 0$。

我们将该测试方程代入到显式欧拉方法的公式里，有：

yt+1=yt−hλyt=(1−hλ)ytyt+1=yt−hλyt=(1−hλ)yt

运用数学归纳法，我们可以得到 $y_t$ 与 $\hat y$ 的关系为：

yt=(1−hλ)tytyt=(1−hλ)tyt

显然，这是一个指数函数，因此想要在 $t \to +\infty$ 时不发生数值爆炸，我们只能限制：

$$\vert {1 - h\lambda} \vert

也就是只有当 $h\lambda > 0$ 时或 $h\lambda

隐式(向后)欧拉方法

1. 介绍

显式欧拉方法的思路是使用上一时刻的导数($F(t - 1, X_{t - 1})$)去近似当前时刻的结果($X_{t}$)。而隐式欧拉对齐进行了改进：使用当前时刻的导数($F(t, X_{t})$)近似当前时刻的结果($X_t$)。这是隐式欧拉和显式欧拉的唯一区别。用公式表示就是：

X˙1=F(t1,X1)=X1−X0t1−t0X˙1=F(t1,X1)=X1−X0t1−t0⇒X1=X0+h∗F(t1,X1)⇒X1=X0+h∗F(t1,X1)

绿线为 $\dot X_{1}$ 的真实值，黑线为隐式欧拉的得到的近似值，隐式欧拉同样也会产生误差。

也许你会发现一些问题：在 $X_1$ 未求出前，我们怎么能先计算 $F(t_1, X_1)$ 呢?没错这就是隐式欧拉方法最大的缺陷，它计算困难复杂，通常需要求解方程组，但是隐式欧拉最大的优点是数值稳定。

2. 稳定性分析

隐式欧拉方法是无条件稳定的方法。使用上面的测试方程，我们对隐式欧拉方法进行同样的操作：

yt+1=yt−hλyt+1yt+1=yt−hλyt+1

整理得：

yt+1(1+hλ)=y_tyt+1(1+hλ)=y_t

对初始值 $\hat y$ 归纳得：

yt=(11+hλ)ty^yt=(11+hλ)ty^

我们又得到了一个指数函数，同样想要不发生数值爆炸，只有：

$$\vert \frac {1}{1 + h\lambda} \vert

也就是需要 $\vert 1 + h\lambda \vert > 1$。步长 $h$ 必定是一个正数，又有 $\lambda > 0$(上面有写)，因此不等式恒成立。

半隐式欧拉方法

显式欧拉和隐式欧拉都有各种的缺点，因此后人想出了一种新方法，将两者结合了起来。

现在让我们忘记 $\dot X = F(t, X)$，回到：

v˙=f(t,p)mv˙=f(t,p)mp˙=vp˙=v

对其使用显式欧拉积分，有：

vt+1=vt+h∗f(t,pt)mvt+1=vt+h∗f(t,pt)mpt+1=pt+h∗vtpt+1=pt+h∗vt

既然对两条方程都使用隐式欧拉比较难求解，那么我们就仅对较简单的那条方程使用隐式欧拉：

红框显式了该方法与显式欧拉的唯一不同之处，我们使用显式欧拉求解速度，用隐式欧拉求解位置，这种混合的方法就叫半隐式欧拉方法。

半隐式欧拉方法相比于隐式欧拉方法更容易实现，速度更快，相比显式欧拉要更稳定些，但并不是无条件稳定。在大部分情况下半隐式欧拉方法都能稳定，除了某些极端条件(比如非常大的参数)。所以半隐式欧拉在刚体模拟下是最常用，也是首推的。

总结

显式欧拉：简单，快，不稳定

隐式欧拉：复杂，慢，稳定

半隐式欧拉：简单，快，大部分情况稳定(刚体模拟首推)